Lorsqu'un jet fluide vient frapper une surface solide, il exerce sur celle-ci une force qui est fonction de la vitesse du jet et de la forme géométrique du solide.
Ici, on fait l'approximation du Fluide parfait.

Hypothèses

1. Les filets fluides sont suffisamment étroits pour que la pression \(P\), et la vitesse \(v\) restent constantes dans une section droite
2. Le mouvement est permanent (Ecoulement stationnaire)
3. Le fluide est incompressible

Enoncé

Enoncé du théorème d'Euler

Soient \(\vec v_1\) et \(\vec v_2\) les vitesses suppossées constantes de sections entrantes \(S_1\) et \(S_2\) d'un volume de fluide de référence \(V\).
La variation de la quantité de mouvement est proportionnelle au Débit massique et à la différence des vitesses \(\vec v_1\) et \(\vec v_2\):
$${{Q_m(\vec v_2-\vec v_1)}}={{\sum \vec F_{ext} }}$$
Avec:

• \(Q_m\): Débit massique
• \(\vec F_{ext}\) comprenant les forces de pression de la paroi, du fluides en amont et en aval, ainsi que des forces volumiques

:
Démonstration du théorème d'Euler
1
Durant l'intervalle de temps \(dt\):
$$d\vec p={{dm_2\vec v_2-dm_1\vec v_1}}$$
Avec, un régime stationnaire:

• \(dm={{\rho SVdt}}\)

2
En vertu de la conservation de la matière:
$$Q_mdt=dm_1=dm_2$$
Avec:

• \(Q_m\): Débit massique

3
Donc, d'aprés la Deuxième loi de Newton - Principe fondamental de la dynamique:
$$\frac{d\vec p}{dt}=Q_m(\vec v_2-\vec v_1)=\sum \vec F_{ext}$$

Généralisation du théorème d'Euler

Dans le cas général, le theorème d'Euler s'écrit comme:
$${{\sum\vec F_{ext} }}={{{\subset\!\supset} \llap{\iint}_\Sigma \rho\vec v(\vec v.\vec{dS}) }}$$
Avec:

• \(\Sigma\): une surface de sortie
• \(\rho\): la densité volumique

Equation d'Euler

Equation d'Euler